Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu lời giải Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời câu hỏi SGK Toán 11 Bài 3 từ đó học tốt môn Toán 11.

Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 3: Hàm số liên tục

Giải Toán 11 trang 80 Tập 1

Hoạt động khởi động trang 80 Toán 11 Tập 1: Hai đồ thị ở hai hình dưới đây cho biết phí gửi xe y của ô tô con (tính theo 10 nghìn đồng) theo thời gian gửi x (tính theo giờ) của hai bãi xe. Có nhận xét gì về sự thay đổi của số tiền phí phải trả theo thời gian gửi ở mỗi bãi đỗ xe?

Lời giải:

+) Bãi xe A:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, theo thời gian gửi x (giờ) tăng thì phí gửi xe tăng dần.

+) Bãi xe B:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, theo thời gian gửi x (giờ) tăng thì phí gửi xe tăng dần theo nấc.

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Hoạt động khám phá 1 trang 80 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số  có đồ thị như Hình 1.

Tại mỗi điểm x₀ = 1 và x₀ = 2, có tồn tại giới hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$ không? Nếu có, giới hạn đó có bằng f(x₀) không?

Lời giải:

+) Tại x₀ = 1 ta có:

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn x_n < 1 và x_n → 1 thì f(x_n) = 1 khi đó $\underset{x_n\to 1^{-}}{\lim }f\left(x_n\right)=1$.

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn 1 < x_n ≤ 2 và x_n → 1 thì f(x_n) = 1 + x_n khi đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)=2$.

Suy ra $\underset{x_n\to 1^{-}}{\lim }f\left(x_n\right)\ne \underset{x_n\to 1^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)$. Do đó không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

+) Tại x₀ = 2

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn x_n < 2 và x_n → 2 thì f(x_n) = 1 + x_n khi đó $\underset{x_n\to 2^{-}}{\lim }f\left(x_n\right)=3$.

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn 2 < x_n ≤ 3 và x_n → 2 thì f(x_n) = 5 – x_n khi đó $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)=3$.

Suy ra $\underset{x_n\to 2^{-}}{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{x_n\to 2^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)=3$. Do đó $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=3$.

Ta có f(2) = 1 + 2 = 3.

Vì vậy $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)=3$.

Giải Toán 11 trang 81 Tập 1

Thực hành 1 trang 81 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số:

a) f(x) = 1 – x² tại điểm x₀ = 3;

b)  tại điểm x₀ = 1.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }\left(1-x^2\right)=-8$ và f(3) = 1 – 3² = – 8.

Do đó $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)=-8$

Vì vậy hàm số liên tục tại x = 3.

b) Tại x₀ = 1:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2+1\right)=2$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-x\right)=-1$.

Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

Do đó không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x₀ = 1.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Hoạt động khám phá 2 trang 81 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số .

a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm x₀ ∈ (1; 2).

b) Tìm $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ và so sánh giá trị này với f(2).

c) Với giá trị nào của k thì $\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}\text{f}\left(x\right)=k$?

Lời giải:

a) Tại mỗi điểm x₀ ∈ (1; 2) thì f(x) = x + 1

Khi đó: $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x+1\right)=x_0+1$ và f(x₀) = x₀ + 1

Suy ra $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)=x_0+1$

Vì vậy hàm số liên tục tại x₀.

b) Tại x₀ = 2 ta có f(x) = x + 1, khi đó:

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(1+x\right)=3$

f(2) = 2 + 1 = 3

Vậy $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)=3.$

c) +) Tại x₀ = 1 ta có f(x₀) = k;

+) Tại x₀ = 1

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn 1 < x_n ≤ 2 và x_n → 1 thì f(x_n) = x_n + 1 khi đó $\underset{x_n\to 1^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{x_n\to 1^{+}}{\lim }\left(x_n+1\right)=2$.

Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=2$

Để $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=k$ thì k = 2.

Giải Toán 11 trang 82 Tập 1

Thực hành 2 trang 82 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số: $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ trên [1; 2].

Lời giải:

Đặt $y=f\left(x\right)=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$

Với mọi x₀ ∈ (1; 2), ta có:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=\sqrt{x_0-1}+\sqrt{2-x_0}=f\left(x_0\right)$

Ta lại có:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=1=f\left(1\right)$;

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=1=f\left(2\right)$.

Vậy hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ liên tục trên [1; 2].

Vận dụng 1 trang 82 Toán 11 Tập 1: Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của x (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:

 (k là một hằng số).

a) Với k = 0, xét tính liên tục của hàm số P(x) trên (0; +∞).

b) Với giá trị nào của k thì hàm số P(x) liên tục trên (0; +∞)?

Lời giải:

a) Với k = 0, hàm số 

+) Lấy x₀ ∈ (0; 400) khi đó P(x) = 4,5x

Suy ra $\underset{x\to x_0}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(4,5x\right)=4,5x_0=P\left(x_0\right)$

Do đó P(x) liên tục trên (0; 400).

+) Tại x₀ = 400, ta có:

$\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }\left(4,5x\right)=4,5.400=1800$.

$\underset{x\to {400}^{+}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{+}}{\lim }\left(4x\right)=4.400=1600$.

Suy ra $\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }P\left(x\right)\ne \underset{x\to {400}^{+}}{\lim }P\left(x\right)$. Do đó không tồn tại $\underset{x\to 400}{\lim }P\left(x\right)$.

Vì vậy hàm số không liên tục tại x = 400.

+) Lấy x₀ ∈ (400; +∞) khi đó P(x) = 4x

Suy ra $\underset{x\to x_0}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(4x\right)=4x_0=P\left(x_0\right)$

Do đó P(x) liên tục trên (400; +∞) .

Vậy hàm số liên tục trên (0; 400) và (400; +∞).

b) Để hàm số P(x) liên tục trên (0; +∞) thì P(x) phải liên tục trên x₀ = 400.

Do đó $\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{+}}{\lim }P\left(x\right)\iff 1800=4.400+k\iff k=200$.

Vậy với k = 200 thì hàm số liên tục trên (0; +∞).

3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

Hoạt động khám phá 3 trang 82 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số y = f(x) = $\frac{1}{x-1}$ và y = g(x) = $\sqrt{4-x}$.

a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã cho.

b) Mỗi hàm số liên tục trên những khoảng nào? Giải thích.

Lời giải:

a) +) Xét hàm số: y = f(x) = $\frac{1}{x-1}$

Điều kiện xác định của hàm số là x ≠ 1.

Vậy tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {1}.

+) Xét hàm số: y = g(x) = $\sqrt{4-x}$

Điều kiện xác định của hàm số là: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.

Vậy tập xác định của hàm số là: D = (– ∞; 4].

b) +) Xét hàm số f(x):

Với x₀ ∈ ( – ∞; 1) thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-x_0}=f\left(x_0\right)$.

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên (– ∞; 1).

Với x₀ ∈ ( 1; + ∞) thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-x_0}=f\left(x_0\right)$.

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên (1; + ∞).

+) Xét hàm số g(x):

Với x₀ ∈ (– ∞; 4) thì $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{4-x}=\sqrt{4-x_0}=g\left(x_0\right)$.

Tại x₀ = 4 thì $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\sqrt{4-x}=0=g\left(4\right)$.

Vậy hàm số liên tục trên (– ∞; 4].

Giải Toán 11 trang 83 Tập 1

Thực hành 3 trang 83 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số $y=\sqrt{x^2-4}$.

Lời giải:

Đặt y = f(x) = $\sqrt{x^2-4}$

Tập xác định của hàm số D = (– ∞; 2) ∪ (2; +∞).

Với x₀ ∈ ( – ∞; 2) thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{x^2-4}=\sqrt{x_0^2-4}=f\left(x_0\right)$

Suy ra hàm số liên tục trên ( – ∞; 2).

Với x₀ ∈ ( 2; +∞) thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{x^2-4}=\sqrt{x_0^2-4}=f\left(x_0\right)$

Suy ra hàm số liên tục trên (2; +∞).

Thực hành 4 trang 83 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = . Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ.

Lời giải:

+) Với x ≠ 0 thì f(x) = $\frac{x^2-2x}{x}$ liên tục trên (– ∞; 0) và (0; + ∞).

+) Với x = 0 thì

Ta có: $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-2x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\left(x-2\right)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(x-2\right)=-2$ và f(0) = a.

Để y = f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 0 do đó a = – 2.

Vận dụng 2 trang 83 Toán 11 Tập 1: Một hãng taxi đưa ra giá cước T(x) (đồng) khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:

T(x) = 

Xét tính liên tục của hàm số T(x).

Lời giải:

+) Với x₀ ∈ (0; 0,7) hàm số f(x) = 10 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (0; 0,7).

+) Với x₀ ∈ (0,7; 20) hàm số f(x) = 10 000 + (x – 0,7).14 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (0,7; 20).

+) Với x₀ ∈ (20; +∞) hàm số f(x) = 280 200 + (x – 20).12 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (20; +∞).

+) Tại x₀ = 0,7 ta có:

$\underset{x\to 0,7^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{-}}{\lim }10000=10000$;

$\underset{x\to 0,7^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{+}}{\lim }$[10 000 + (x-0,7).14 000] = 10 000.

Suy ra $\underset{x\to 0,7^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{+}}{\lim }f\left(x\right)=10000$. Do đó tồn tại $\underset{x\to 0,7}{\lim }f\left(x\right)=10000$.

Mà f(0,7) = 10 000 nên $\underset{x\to 0,7}{\lim }f\left(x\right)$= f(0,7) = 10000.

Vì vậy hàm số liên tục tại x₀ = 0,7.

+) Tại x₀ = 20 ta có:

$\underset{x\to {20}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{-}}{\lim }$[10 000 + (x-0,7).14 000] = 280 200.

$\underset{x\to {20}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{+}}{\lim }$[280 200+(x-20).12 000] = 280 200.

Suy ra $\underset{x\to {20}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=280200$. Do đó tồn tại $\underset{x\to 20}{\lim }f\left(x\right)=280200$.

Mà f(20) = 280 200 nên $\underset{x\to 20}{\lim }f\left(x\right)=f\left(20\right)=280200$.

Vì vậy hàm số liên tục tại x = 20.

Vậy hàm số T(x) liên tục trên ℝ.

4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Hoạt động khám phá 4 trang 83 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số y = f(x) = $\frac{1}{x-1}$ và y = g(x) = $\sqrt{4-x}$. Hàm số y = f(x) + g(x) có liên tục tại x = 2 không? Giải thích.

Lời giải:

Xét hàm số y = h(x) = f(x) + g(x) = $\frac{1}{x-1}+\sqrt{4-x}$ có tập xác định D = [4; +∞) \ {1}.

Tại x₀ = 2 ∈ D thì $\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{1}{x-1}+\sqrt{4-x}\right)$ = 3 = h(2).

Do đó hàm số liên tục tại x₀ = 2.

Giải Toán 11 trang 84 Tập 1

Thực hành 5 trang 84 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số:

a) y = $\sqrt{x^2+1}$ + 3 - x;

b) y = $\frac{x^2-1}{x}$.cos x.

Lời giải:

a) Đặt y = f(x) = $\sqrt{x^2+1}$ + 3 - x

Tập xác định của hàm số D = ℝ.

Khi đó $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\sqrt{x^2+1}+3-x\right)=\sqrt{x_0^2+1}+3-x_0=f\left(x_0\right)$.

Vậy hàm số liên tục trên ℝ.

b) Đặt y = g(x) = $\frac{x^2-1}{x}$.cos x.

Tập xác định của hàm số D = ℝ\{0}.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (0; +∞) ta thấy hàm số $y=\frac{x^2-1}{x}$ và y = cos x liên tục.

Vậy hàm số đã cho liên tục trại mọi điểm x₀ ≠ 0.

Vận dụng 3 trang 84 Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O, bán kính bằng 1. Một đường thẳng d thay đổi, luôn vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại điểm M có hoành độ x (– 1 < x < 1) và cắt đường tròn (C) tại các điểm N và P (xem Hình 6).

a) Viết biểu thức S(x) biểu thị diện tích của tam giác ONP.

b) Hàm số y = S(x) có liên tục trên (– 1; 1) không? Giải thích.

c) Tìm các giới hạn $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }S\left(x\right)$ và $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }S\left(x\right)$.

Lời giải:

a) Xét tam giác OMN vuông tại M có:

MN = $\sqrt{O{N}^2-O{M}^2}=\sqrt{1-x^2}$

$\Rightarrow NP=2\sqrt{1-x^2}$

Diện tích của tam giác ONP là:

S(x) = $\frac{1}{2}$.NP.OM = $\frac{1}{2}$.2.$\sqrt{1-x^2}$.x = x$\sqrt{1-x^2}$

b) Trên (– 1; 1) hàm số y = $\sqrt{1-x^2}$ xác định và liên tục và hàm số y = x liên tục.

Do đó hàm số S(x) liên tục trên (– 1; 1).

c) Ta có:

$\underset{x\to -1^{+}}{\text{lim}}\text{S}\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\text{lim}}\left(\sqrt{1-x^2}.x\right)=0$

$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\text{S}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\left(\sqrt{1-x^2}.x\right)=0$.

Bài tập

Bài 1 trang 84 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số sau:

a) f(x) =  tại điểm x = 0;

b) f(x) =  tại điểm x = 1.

Lời giải:

a) Tại x = 0, ta có:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x^2+1\right)=1$;

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(1-x\right)=1$.

Suy ra $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$. Do đó $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=1$

Mà f(0) = 0² + 1 = 1 nên $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)=1$.

Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0.

b) Tại x = 1 ta có:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2+2\right)=3$;

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }x=1$.

Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$. Do đó không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

Vậy hàm số không liên tục tại x = 1.

Bài 2 trang 84 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = . Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Lời giải:

Ta có:

$\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-4}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }\left(x-2\right)=-4$.

f(-2) = a.

Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì hàm số liên tục tại x = – 2

$\iff \underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)$= f(-2)

$\iff$a = -4

Vậy a = – 4 thì hàm số đã cho liên tục trên ℝ.

Giải Toán 11 trang 85 Tập 1

Bài 3 trang 85 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số sau:

a) f(x) = $\frac{x}{x^2-4}$;

b) g(x) = $\sqrt{9-x^2}$;

c) h(x) = cosx + tanx.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số D = ℝ \ {– 2; 2}.

Hàm số f(x) = $\frac{x}{x^2-4}$ liên tục tại mọi điểm khác – 2 và 2.

b) Tập xác định của hàm số D = [– 2; 2].

Hàm số g(x) = $\sqrt{9-x^2}$ liên tục trên [– 2; 2].

c) Tập xác định của hàm số: D = R\.

Hàm số y = cosx hoặc y = tanx đều liên tục trên các khoảng xác định của nó.

Vậy h(x) = cosx + tanx liên tục trên từng khoảng xác định.

Bài 4 trang 85 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = $\sqrt{x-1}$. Xét tính liên tục của hàm số y = f(x).g(x) và y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$.

Lời giải:

+) Xét hàm số y = f(x).g(x) có tập xác định D = [1; +∞).

Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = $\sqrt{x-1}$ đều liên tục trên D.

Vậy hàm số y = f(x).g(x) liên tục trên D.

+) Xét hàm số y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ có tập xác định D = (1; +∞).

Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = $\sqrt{x-1}$ đều liên tục trên D.

Vậy hàm số y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục trên D.

Bài 5 trang 85 Toán 11 Tập 1: Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:

C(x) = 

Xét tính liên tục của hàm số C(x).

Lời giải:

+) Với x ∈ (0; 2) ta có: C(x) = 60 000 nên hàm số liên tục trên (0; 2).

+) Với x ∈ (2; 4) ta có: C(x) = 100 000 nên hàm số liên tục trên (2; 4).

+) Với x ∈ (4; 24) ta có: C(x) = 200 000 nên hàm số liên tục trên (4; 24).

+) Tại x = 2 ta có: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }C\left(x\right)=60000\ne 100000=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }C\left(x\right)$. Suy ra không tồn tại $\underset{x\to 2}{\lim }C\left(x\right)$.

+) Tại x = 4 ta có: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }C\left(x\right)=100000\ne 200000=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }C\left(x\right)$. Suy ra không tồn tại $\underset{x\to 4}{\lim }C\left(x\right)$.

Bài 6 trang 85 Toán 11 Tập 1: Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là F(r) =  trong đó M là khối lượng, R là bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F(r) có liên tục trên (0; +∞) không?

Lời giải:

+) Ta có: y = $\frac{GMr}{R^3}$ liên tục trên (0; R) và y = $\frac{GM}{r^2}$ liên tục trên (R; + ∞).

+) Tại r = R, ta có:

$\underset{r\to R^{-}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{\lim }\frac{GMr}{R^3}=\frac{GM}{R^2}$

$\underset{r\to R^{+}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{\lim }\frac{GM}{r^2}=\frac{GM}{R^2}$

Suy ra $\underset{r\to R^{-}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{+}}{\lim }F\left(r\right)$. Do đó $\underset{r\to R}{\lim }F\left(r\right)=\frac{GM}{R^2}$

Mà $F\left(R\right)=\frac{GM}{R^2}$ nên $\underset{r\to R}{\lim }F\left(r\right)=F\left(R\right)=\frac{GM}{R^2}$

Suy ra hàm số liên tục tại x = R.

Vậy hàm số liên tục trên (0; +∞).

Xem thêm lời giải sách giáo khoa Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài tập cuối chương 3